函数问题向量切入新颖别

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函数问题向量切入新颖别

http://www.henanedu.com/ 发布时间：：2008-2-19 10:11:07 来源：四川乐至县吴仲良中学毛仕理

由于向量具有几何表示和代数表示的特点，这就使其成为近几年高考表述函数问题的重要载体。解这类问题的基本方法是：将向量间的几何关系数量化。
　　例１（２００５年湖北卷）已知向量ａ粌＝（ｘ２ｘ＋１）ｂ粓＝（１－ｘｔ）若函数ｆ（ｘ）＝ａ粌·ｂ粓在区间（－１，１）上是增函数，求ｔ的取值范围。
　　本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。
　　解法１：依定义ｆ（ｘ）＝ｘ２（１－ｘ）＋ｔ（ｘ＋１）＝－ｘ３＋ｘ
　　２＋ｔｘ＋ｔ，
　　则ｆ＇（ｘ）＝－３ｘ２＋２ｘ＋ｔ．若ｆ（ｘ）在（－１，１）上是增函数，
　　则在（－１，１）上可设ｆ＇（ｘ）≥０．
　　∴ｆ＇（ｘ）≥０ｔ≥３ｘ２－２ｘ在区间（－１，１）上恒成立，考虑函数ｇ（ｘ）＝３ｘ２－２ｘ由于ｇ（ｘ）的图象是对称轴为ｘ＝１３开口向上的抛物线，故要使ｔ≥３ｘ２－２ｘ在区间（－１，１）上恒成立ｔ≥ｇ（－１），即ｔ≥５。而当ｔ≥５时，ｆ＇（ｘ）在（－１，１）上满足ｆ＇（ｘ）＞０即ｆ（ｘ）在（－１，１）上是增函数。故ｔ的取值范围是ｔ≥５．
　　解法２：依定义ｆ（ｘ）＝ｘ２（１－ｘ）＋ｔ（ｘ＋１）＝－ｘ３＋ｘ
　　２＋ｔｘ＋ｔ
　　ｆ＇（ｘ）＝－３ｘ２＋２ｘ＋ｔ．若ｆ（ｘ）在（－１，１）上是增函数，则在（－１，１）上可设ｆ＇（ｘ）≥０．
　　∵ｆ＇（ｘ）的图象是开口向下的抛物线，
　　∴当且仅当ｆ＇（１）＝ｔ－１≥０，且ｆ＇（－１）＝ｔ－５≥０时，ｆ（ｘ）在（－１，１）上满足ｆ＇（ｘ）＞０，即ｆ（ｘ）在（－１，１）上是增函数。
　　故ｔ的取值范围是ｔ≥５。
　　评析本题在向量知识、函数知识和导数知识的交汇处命题。考生只有具备较为全面的知识基础和一定的综合分析能力才能完整地求解。本题命题方向应该成为今后命题的主流方向。
　　例２（２００５上海卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ｋｘ＋ｂ的图象与ｘｙ轴分别相交于点Ａ、Ｂ，ＡＢ＝２ｉ粌＋２ｊ粌（ｉ粌ｊ粌分别是与ｘｙ轴正半轴同方向的单位向量），函数ｇ（ｘ）＝ｘ２－ｘ－６．
　　（１）求ｋｂ的值；
　　（２）当ｘ满足ｆ（ｘ）＞ｇ（ｘ）时，求函数ｇ（ｘ）＋１ｆ（ｘ）
　　的最小值。
　　解：（１）由已知得Ａ（－ｂｋ０），Ｂ（０ｂ），则ＡＢ＝（ｂｋ，ｂ）
　　于是
　　ｂｋ＝２ｂ＝２
　　∴ｋ＝１ｂ＝２
　　．
　　（２）由ｆ（ｘ）＞ｇｘ）得ｘ＋２＞ｘ２－ｘ－６
　　即（ｘ＋２）（ｘ－４）＜０得－２＜ｘ＜４
　　ｇ（ｘ）＋１ｆ（ｘ）
　　＝ｘ
　　２－ｘ－５ｘ＋２
　　＝ｘ＋２＋１
　　ｘ＋２
　　－５
　　由于ｘ＋２＞０则ｇ（ｘ）＋１ｆ（ｘ）
　　≥－３，
　　其中等号当且仅当ｘ＋２＝１即ｘ＝－１时成立，
　　∴ｇ（ｘ）＋１
　　ｆ（ｘ）
　　的最小值是－３．

作者：：
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